903 Таинственный уровень

903 можно записать как сумму последовательных чисел семью разными способами:

903 можно записать как сумму последовательных чисел семью разными способами:

  • 451 + 452 = 903; это 2 последовательных числа.
  • 300 +301+ 302 = 903; это3последовательных числа.
  • 147 + 148 + 149 + 150 + 151 + 153 = 903; это 6 последовательных чисел.
  • 126 + 127 + 128 +129+ 130 + 131 + 132 = 903; это7последовательных чисел.
  • 58 + 59 + 60 + 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 + 69 + 70 + 71 = 903; это четырнадцать последовательных чисел.
  • 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 +43+ 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 = 903; это21 номерподряд.
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 = 903; это 42 последовательных числа.

Последний способ означает, что 903 - это42-е треугольное число. Это произошло потому, что (42× 43) / 2 = 903.

Распечатайте головоломки или введите решение в этот файл Excel: 10-факторы-897-904

  • 903 - составное число.
  • Факторизация на простые множители: 903 = 3 × 7 × 43.
  • Показатели степени в разложении на простые множители равны 1, 1 и 1. Добавляя по одному к каждому и умножая, получаем (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8. Следовательно, 903 имеет ровно 8 факторов.
  • Множители числа 903: 1, 3, 7, 21, 43, 129, 301, 903.
  • Пары факторов: 903 = 1 × 903, 3 × 301, 7 × 129 или 21 × 43
  • 903 не имеет квадратных множителей, позволяющих упростить его квадратный корень. √903 ≈ 30,0499584.

Поделись этим:

840 - наименьшее число, которое является верхним числом в ТРЕХ головоломках на сумму-разность

Факторные деревья для 840:

840 имеет больше факторов, чем любое предыдущее число. Эти факторы помогут нам записать 840 как сумму последовательных счетных чисел, последовательных четных чисел и последовательных нечетных чисел. Какие факторы у 840? Вот несколько возможных факторных деревьев для 840:

Красные листья на дереве - простые числа. Собирая шесть красных листьев из любого факторного дерева, приведенного выше, мы получаем разложение на простые множители 840: 840 = 2³ × 3 × 5 × 7. Теперь 840 - не наименьшее число, у которого есть шесть красных листьев. На самом деле, есть меньшие числа с целыми девятью листьями, но шесть невинно выглядящих красных листьев 840 превратятся в колоссальные 32 фактора!

Факторы 840:

  • 840 - составное число.
  • Факторизация на простые множители: 840 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7, что может быть записано 840 = 2³ × 3 × 5 × 7.
  • Показатели степени в разложении на простые множители равны 3, 1, 1 и 1. Добавляя по одному к каждому и умножая, получаем (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1)) (1 + 1) = 4 × 2 × 2 × 2 = 32. Следовательно, в 840 ровно 32 множителя.
  • Множители 840: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840
  • Пары факторов: 840 = 1 × 840, 2 × 420, 3 × 280, 4 × 210, 5 × 168, 6 × 140, 7 × 120, 8 × 105, 10 × 84, 12 × 70, 14 × 60, 15 × 56, 20 × 42, 21 × 40, 24 × 35 или 28 × 30
  • Взяв пару множителей с наибольшим квадратным числовым множителем, мы получим √840 = (√4) (√210) = 2√210 ≈ 28,98275.

840 - это также наименьшее число, которое можно равномерно разделить на первые восемь счетных чисел!

Головоломки с суммированием разностей:

210 имеет восемь пар факторов. Одна из этих пар факторов складывается до 29, а другая вычитается до 29. Другая пара факторов дает в сумме 37, а другая вычитает до 37. Таким образом, 210 дает две разные головоломки суммы-разности, показанные на первых двух рисунках ниже. !

840 кратно 210 и имеет шестнадцать пар факторов! Одна из пар факторов в сумме дает 58, а другая - 74. Другая пара факторов вычитает до 58, а другая пара факторов вычитает до 74. Если вы можете идентифицировать эти пары факторов, вы можете решить две головоломки, которые находятся рядом с 210 головоломок ниже!

840 имеет еще одну пару факторов, которая в сумме дает 113, и другую, которая вычитает до 113. Если вы сможете найти эти пары факторов, вы сможете решить следующую примитивную головоломку:

Если вам нужна помощь в решении любой из этих головоломок 840 разностей сумм, приведенная ниже таблица показывает суммы и разности всех пар факторов 840. Посмотрите, какие суммы также отображаются в столбце разницы.

Как найти последовательные счетные числа, которые в сумме дают 840:

840 больше 40-го треугольного числа (820) и меньше 41-го треугольного числа (861). Мы также можем получить число 40, используя √ (1 +840× 2) - 1= 40, округление не требуется. 840 имеет шесть нечетных множителей, не более 40, а именно 1, 3, 5, 7, 15, 21 и 35.

Я опишу, как можно записать 840 как сумму последовательных чисел. Вы можете выписать суммы? Я сделал для вас одну из них:

  • используя 3 числа, из которых 280 в качестве среднего числа,
  • используя 5 чисел из которых 168 в качестве среднего числа,
  • используя 7 чисел, из которых 120 - среднее число; 117 + 118 + 119 + 120 + 121 + 122 + 123 = 840
  • используя 15 чисел с 56 в качестве среднего числа,
  • с использованием 21 числа с 40 в качестве среднего числа
  • используя 35 чисел с 24 в качестве среднего числа.

Обратите внимание, что каждый из этих способов имеет в описании факторную пару 840.

Наибольшая степень двойки, которая является множителем 840, равна 8, которая при удвоении становится 16. Какой из нечетных множителей 840, умноженных на 16, не превышает 40? 1 × 16 = 16 и 3 × 16 = 48. Ой, это уже слишком. Остальные его нечетные множители, умноженные на 16, тоже будут слишком большими. Тем не менее, мы можем записать 840 как сумму 16 счетных чисел. 840 ÷ 16 = 52,5, поэтому 52 и 53 будут восьмым и девятым числами в сумме.

  • 45 + 46 + 47 + 48 + 49 + 50 + 51 +52+53+ 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60 = 840

Как найти последовательные ЧЕТНЫЕ числа, которые в сумме дают четное число?

Только четные числа могут быть суммой последовательных четных чисел. Давайте снова возьмем 840 в качестве примера. 840 ÷ 2 = 420.

Сначала мы найдем все способы записать 420 как сумму последовательных чисел. Затем мы просто удвоим среднее число и окружим его соответствующим количеством четных чисел, чтобы получить сумму четных чисел, которая в сумме составляет 840:

√ (1 +420× 2) - 1= 28, округление не требуется, поэтому мы составим список нечетных множителей, которые не превышают 28. Это 1, 3, 5, 7, 15 и 21. Мы также обратите внимание, что наибольшая степень 2, которая является множителем 420, равна 4. Удваивая 4, мы получаем 8. Какой из нечетных множителей 420, умноженных на 8, не превышает 28? 1 × 8 = 8, а 3 × 8 = 24. Все остальное будет многовато.

Я опишу, как мы можем записать 840 как сумму последовательных четных чисел. Вы можете увидеть пары факторов 420 и 840 в описаниях. Вы можете выписать суммы? Я сделал для вас одну из них:

  • используя 3 четных числа с 2 × 140 = 280 в качестве среднего числа
  • используя 5 четных чисел с 2 × 84 = 168 в качестве среднего числа
  • используя 7 четных чисел с 2 × 60 = 120 в качестве среднего числа
  • используя 15 четных чисел с 2 × 28 = 56 в качестве среднего числа
  • используя 21 четное число с 2 × 20 = 40 в качестве среднего числа; 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 + 42 + 44 + 46 + 48 + 50 + 52 + 54 + 56 + 58 + 60 = 840

Мы также можем записать 840 как сумму четного количества последовательных четных чисел.

  • используя 8 четных чисел: 2 раза (49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 420) получается 98 + 100 + 102 +104 + 106+ 108 + 110 + 112 = 840. Обратите внимание, что 840 ÷ 8 =105, нечетное число, которое находится между двумя числами в точной середине суммы.
  • Аналогично, используя 24 четных числа: 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 +34 + 36+ 38 + 40 + 42 + 44 + 46 + 48 + 50 + 52 + 54 + 56 + 58 = 840. Обратите внимание, что 840 ÷ 24 =35, нечетное число, которое находится между двумя числами в точной середине суммы.

Как найти последовательные нечетные числа, которые в сумме дают четное число, например 841:

Позвольте мне сначала указать, что каждое квадратное число n² - это сумма первых n чисел.

Например: 100 = 10², и 100 также является суммой первых 10 нечетных чисел, как показано ниже:

Аналогичное утверждение верно и для любого другого квадратного числа:

Да, каждое квадратное число n² является суммой первых n нечетных чисел.

Чтобы записать неквадратноечетноечисло как сумму последовательных нечетных чисел, первое, что мы должны сделать, это определить, можно ли записать число как разность двух квадратов. Есличетноечисло имеет пару множителей, b × a, в которой b>a, и ОБА a и bчетные, то это четное число можно выразить как разность двух квадратов с помощью [(b + a) / 2 ] ² - [(b - a) / 2] ².

Если четное число можно выразить как разность двух квадратов,B² - A², то это число можно записать как сумму всех нечетных чисел от2A + 1до2B-1.

840 - четное число с восемью парами факторов, в которых оба числа четные. Давайте воспользуемся этими четными парами множителей, чтобы найти способы записать 840 как сумму последовательных нечетных чисел:

  • 420 ×2= 840 означает211² - 209²= 840, и это означает, что суммадвухпоследовательных нечетных чисел от419до421= 840.
  • 210 ×4= 840 означает107² - 103²= 840, и это означает, что сумма4последовательных нечетных чисел от207до213= 840.
  • 140 ×6= 840 означает73² - 67²= 840, и это означает, что суммашестипоследовательных нечетных чисел от135до145= 840.
  • 84 ×10= 840 означает47² - 37²= 840, и это означает, что сумма10последовательных нечетных чисел от75до93= 840.
  • 70 ×12= 840 означает41² - 29²= 840, и это означает, что сумма12последовательных нечетных чисел от59до81= 840.
  • 60 ×14= 840 означает37² - 23²= 840, и это означает, что сумма14последовательных нечетных чисел от47до73= 840.
  • 42 ×20= 840 означает31² - 11²= 840, и это означает, что сумма20последовательных нечетных чисел от23до61= 840.
  • 30 ×28= 840 означает29² - 1²= 840, и это означает, что сумма28последовательных нечетных чисел от3до29= 840.

Таким образом, число 840 с его рекордными 32 факторами может быть записано как сумма 7 последовательных чисел, 7 последовательных четных чисел и 8 последовательных нечетных чисел!

Подробнее о Number 840:

Между прочим, если можно записать 840 как разность двух квадратов, восемь разных способов также составляют 840 ножку по крайней мере в восьми различных пифагоровых троек. Эти пифагоровы тройки можно вычислить, используя числа из разности двух квадратов. Например, 682-840-1082 можно рассчитать из 2 (31) (11),31² - 11², 31² + 11².

840 - это лучший результат для этих восьми троек. Возможно, что если посмотреть на 2 (b) (a), где b × a = 420, получится еще несколько пифагоровых троек с 840 в качестве ноги.

840 - это такжегипотенузаодной тройки Пифагора, 504-672-840.

На заметку, совершенно не имеющую отношения ни к чему, что я написал выше, 840 - это повторная цифра в двух базах: