Определение рядов Фурье и типичные примеры

Барон Жан Батист Жозеф Фурье \ (\ left (1768-1830 \ right) \) ввел идею, что любая периодическая функция может быть представлена ​​серией синусов и косинусов, которые гармонически связаны.

Барон Жан Батист Жозеф Фурье \ (\ left (1768-1830 \ right) \) ввел идею, что любая периодическая функция может быть представлена ​​серией синусов и косинусов, которые гармонически связаны.

Чтобы рассмотреть эту идею более подробно, нам нужно ввести некоторые определения и общие термины.

Основные определения

Говорят, что функция \ (f \ left (x \ right) \) имеет период \ (P \), если \ (f \ left ( \ right) = f \ left (x \ right) \) для всех \ (x. \) Пусть функция \ (f \ left (x \ right) \) имеет период \ (2 \ pi. \). В этом случае , достаточно рассмотреть поведение функции на интервале \ (\ left [ \ right]. \)

    Предположим, что функция \ (f \ left (x \ right) \) с периодом \ (2 \ pi \) абсолютно интегрируема на \ (\ left [ \ right] \), так что конечен следующий так называемый интеграл Дирихле:

Если выполнены условия \ (1 \) и \ (2 \), ряд Фурье для функции \ (f \ left (x \ right) \) существует и сходится к заданной функции (см. Также Сходимость рядов Фурье страницу об условиях сходимости.)

На разрыве \ ( \) ряд Фурье сходится к

Ряд Фурье функции \ (f \ left (x \ right) \) задается формулой

где коэффициенты Фурье \ (< >, \) \ (< >, \) и \ (< >\) определяются интегралами

Иногда используются альтернативные формы ряда Фурье. Замена \ (< >\) и \ (< >\) новыми переменными \ (< >\) и \ (>\) или \ (< >\) и \ (>, \), где

Ряды Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции \ (f \ left (x \ right) \) с периодом \ (2 \ pi \) не содержит членов с синусами и имеет вид:

где коэффициенты Фурье даются формулами

Соответственно, разложение в ряд Фурье нечетной \ (2 \ pi \) - периодической функции \ (f \ left (x \ right) \) состоит только из синусоидальных членов и имеет вид:

\ [е \ влево (х \ вправо) = \ сумма \ пределы_ ^ \ infty< \ sin nx>, \]

где коэффициенты \ (< >\) являются

Ниже мы рассматриваем разложения \ (2 \ pi \) - периодических функций в их ряды Фурье, предполагая, что эти разложения существуют и сходятся.

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 1.

Чтобы определить \ (< >, \) проинтегрируем ряд Фурье на интервале \ (\ left [ \ right]: \)

Следовательно, все слагаемые справа от знака суммы равны нулю, поэтому получаем

Чтобы найти коэффициенты \ (< >, \) умножаем обе части ряда Фурье на \ (\ cos mx \) и интегрируем почленно:

Первый член справа равен нулю. Тогда, используя известные тригонометрические тождества, имеем

В случае, когда \ (m = n \), мы можем написать:

Аналогично, умножая ряд Фурье на \ (\ sin mx \) и интегрируя член за членом, мы получаем выражение для \ (< >: \)

Переписывая формулы для \ (< >, \) \ (< >, \) можно записать окончательные выражения для коэффициентов Фурье:

Пример 2.

Сначала вычисляем постоянную \ (< >: \)

Найдите теперь коэффициенты Фурье для \ (n \ ne 0: \)

В качестве \ (\ cos n \ pi = \ right) ^ n>, \) мы можем написать:

Таким образом, ряд Фурье для прямоугольной волны имеет вид

Мы легко можем найти несколько первых членов серии. Положив, например, \ (n = 5, \), получим

График функции и разложения в ряд Фурье для \ (n = 10 \) показан ниже на рисунке \ (2. \).